Gráficas y funciones.

GRÁFICAS Y FUNCIONES.

Autor: Miguel Ángel Muñoz.
Primera versión: Diciembre, 2016.
Tiempo de lectura estimado: 30 minutos.

El contenido de esta entrada del blog está dedicado a las “Gráficas y funciones” a nivel de 1º de la ESO (Enseñanza Secundaria Obligatoria), según los planes de enseñanza en España. También va destinado a internautas que sientan curiosidad por las Matemáticas, incluso para aquéllos a los que “se le atraviesan las mates”. Soy de la opinión que existe una relación fuerte entre lo que nos gusta y lo que entendemos. Si nos explican algo que no entendemos, probablemente no nos guste. De ahí, el intentar explicar de forma que se entienda y, por tanto, que pueda llegar a gustar. Si te interesan los temas relacionados con las Matemáticas, en general, y con las “Gráficas y funciones” en particular, te invito a que sigas leyendo. A los expertos en el tema advertirles que no van a encontrar nada novedoso aquí. Este documento es de divulgación y es “free”, siempre y cuando menciones mi autoría. Para mayor información sobre Propiedad intelectual e industrial y derechos de autor de este blog, en general y de esta entrada, en particular, puedes consultar el Aviso legal de este blog.
No tienes que ser un mago con los números para entender lo que aquí se cuenta. Basta con que sepas “las cuatro reglas”: sumar, restar, multiplicar y dividir.

CONCEPTO DE FUNCIÓN.

Considera que deseas comprar tomates en un supermercado. Está claro que cuantos más tomates acabes comprando, sea medido en piezas (unidades) o bien en kilogramos (Kg.), más dinero necesitas para pagar el total de tomates adquiridos.

La Tabla 1, a la que se denomina tabla de valores, muestra para cada cantidad de Kg. de tomates comprados, el dinero que se ha de gastar, medido en euros actualmente en España y en otros países de la zona de la Unión Europea que usa el euro (símbolo €) como moneda oficial (zona denominada ‘eurozona’). En cambio, si estás en el Reino Unido, por ejemplo, en lugar de medir en euros, lo harás en su moneda oficial: la libra esterlina, cuyo símbolo es £. Y si donde estás es en Estados Unidos, usarás el dólar estadounidense, de símbolo $. Para que el ejemplo nos sirva independientemente del país en el que nos encontremos, usaremos el concepto de unidades monetarias (u.m.), en lugar del euro, de la libra esterlina, del dólar estadounidense o de cualquier otra moneda oficial.

Cantidad de tomates a comprar (Kg.) 1 2 3 4 5
Cantidad de dinero a gastar (u.m.) 2 4 6 8 10

Tabla 1. Tabla de valores

Vemos que, a mayor cantidad de tomates a comprar, mayor cantidad de dinero a gastar, como dicta el sentido común. Se dice, entonces, que la cantidad de dinero a gastar ES FUNCIÓN de la cantidad de tomates a comprar. Usualmente, se suele denominar variable independiente a aquélla correspondiente a lo que podemos decidir (cantidad de tomates a comprar, en Kg.) y se simboliza habitualmente con la letra x. En cambio, a aquella variable correspondiente a lo que nos viene dado (cantidad de dinero a gastar, en u.m.) una vez tomada la decisión, se le denomina variable dependiente y es muy habitual simbolizarla con la letra y. Adicionalmente, para indicar que y es función de x, es muy corriente designarlo en la forma:

y = f(x).

Es posible que te estés preguntando en este sencillo ejemplo si es correcto designar como variable independiente a la cantidad de tomates a comprar (en Kg.), ya que puede haber personas cuya decisión está más bien centrada en la cantidad de dinero que está dispuesta gastar (en u.m.) en tomates, viniendo la cantidad de tomates (en Kg.) comprados con ese dinero determinada de forma externa a la decisión tomada. Con este planteamiento alternativo, una posibilidad de contemplar el problema en cuestión de forma matemática sería:

x = variable independiente = cantidad de dinero que está dispuesta gastar (en u.m.) en tomates,

y = variable dependiente = cantidad de tomates (en Kg.) comprados con la cantidad de dinero x (en u.m.),

y = f (x).

No obstante, en lo que sigue, usaremos como variable independiente x la cantidad de tomates a comprar, en Kg. Y como variable dependiente y, usaremos la cantidad de dinero a gastar, en u.m., siendo y = f (x).

COORDENADAS Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE PUNTOS.

Considera UNA ÚNICA de las dos variables, la independiente x o la dependiente y. Por ejemplo, considera únicamente la variable independiente x = cantidad de tomates a comprar, en Kg. Esta variable x puede tomar el valor 1 (1 Kg. de tomates). También puede tomar el valor 2 (2 Kg. de tomates), el valor 3, el valor 4 y así sucesivamente. ¿Puede tomar el valor 0? ¡Hombre! ¡Sí y no! Comprar 0 Kg. de tomates equivale a decir que no se compran tomates, pero desde el punto de vista matemático sí que x puede tomar el valor 0. ¿Y puede tomar x el valor, por ejemplo, 1.5? Pues claro que sí. Fíjate que si en vez de Kg. de tomates, fueran unidades o piezas, entonces x podría tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, etc., pero no los valores 1.5 ó 2.3 (números que se conocen en Matemáticas, como números decimales). Entonces, dependerá en cada problema concreto, el que una variable, digamos la x, pueda tomar como valores el conjunto {0, 1, 2, 3, 4,…}, conjunto que se denomina de números naturales -aunque en algunos textos de Matemáticas encontrarás que el 0 no aparece entre los números naturales- o bien que dicha variable x pueda tomar como valores los números naturales y, adicionalmente, tomar como valores números decimales.

Gráficamente, podemos representar los valores que toma una variable x, sobre una recta. Habitualmente, cuando estamos estudiando funciones, la variable independiente x se representa de manera horizontal y a la recta en cuestión se le llama eje de abscisas o eje horizontal. En la figura adjunta tienes el eje de abscisas para la variable x.

eje_abscisas_opt

También puede que te estés preguntando si en algún caso, las variables que se representan gráficamente, pueden tomar valores negativos, es decir, menores que 0. En el caso de que x represente la cantidad de tomates a comprar, en Kg., está claro que no es posible. Pero hay casos en que una variable puede tomar valores negativos; por ejemplo, si x representase la temperatura en una ciudad en un momento determinado, podría tomar el valor de -1, o de -2,… y también valores decimales negativos, como -1.6 ó -1.7.

Fíjate que cuando se considera el caso de una ÚNICA variable, como la independiente x, los valores que puede tomar se representan sobre una recta (horizontal, en este caso). Se dice, entonces, que el problema matemático que se considera es unidimensional. En cambio, si consideramos, simultáneamente, los posibles valores que pueden tomar tanto la variable independiente x (en una recta horizontal, que hemos denominado eje de abscisas) como la variable dependiente y (en una recta vertical, que se denomina eje de ordenadas, perpendicular al eje de abscisas), el problema es, ahora, bidimensional en lugar de unidimensional. La representación gráfica se realiza en lo que se conoce como plano (x, y) y las dos rectas perpendiculares se denominan ejes cartesianos o ejes de coordenadas.

Al punto donde se cortan ambos ejes se le llama origen de coordenadas y se suele representar como punto O.

Cualquier punto del plano queda perfectamente definido al usar sus coordenadas, establecidas por el par (x, y). La coordenada x del punto se mide sobre el eje de abscisas y se llama abscisa del punto, mientras que la coordenada y se mide sobre el eje de ordenadas y se llama ordenada del punto.

En la siguiente figura adaptada de la original de Wikipedia podemos ver una representación gráfica del plano (x, y). En ella están representados cuatro puntos: el punto de coordenadas (2, 3) en verde, el de coordenadas (-3, 1) en rojo, el de coordenadas (-1.5, -2.5) en azul y el punto O de coordenadas (0, 0) en magenta.

cartesian-coordinate-system-svg

Observa que el plano (x, y) queda dividido en cuatro zonas diferentes:

1 Zona en la que x toma valores positivos y en la que y también toma valores positivos. Esta zona se denomina Primer Cuadrante y, en ella, se encuentra, por ejemplo el punto de coordenadas (2, 3).

2 Zona en la que x toma valores negativos y en la que y toma valores positivos. Esta zona se denomina Segundo Cuadrante y, en ella, se encuentra, por ejemplo el punto de coordenadas (-3, 1).

3 Zona en la que x toma valores negativos y en la que y también toma valores negativos. Esta zona se denomina Tercer Cuadrante y, en ella, se encuentra, por ejemplo el punto de coordenadas (-1.5, -2.5).

4 Zona en la que x toma valores positivos y en la que y toma valores negativos. Esta zona se denomina Cuarto Cuadrante y, en ella, se encuentra, por ejemplo el punto de coordenadas (3, -2), no representado en la figura anterior.

ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS DE FUNCIONES.

Retomemos el ejemplo inicial en el que

x = variable independiente = cantidad de tomates a comprar (Kg.),

y = variable dependiente = cantidad de dinero a gastar (en u.m.).

y = f (x).

Observa que la función que relaciona ambas variables, asigna a cada valor posible de x un único valor de y.  En el caso de la tabla de valores dada en la Tabla 1 (más arriba en esta entrada del blog) se relacionan ambas variables mediante la función

y = 2 x.

En efecto; por ejemplo, cuando x toma el valor 1, y toma el valor 2×1 = 2. O bien, cuando x toma el valor 2, y toma el valor 2×2 = 4 y así, sucesivamente.

La FUNCIÓN LINEAL es aquella que toma la expresión más general:

y = m x,

donde m es igual a 2, en el caso del ejemplo de los tomates. A m se le denomina pendiente de la función lineal. Su representación gráfica es una línea recta que pasa por el origen O de coordenadas (0, 0) y tiene mayor inclinación respecto al eje de abscisas cuanto mayor es la pendiente m.

La FUNCIÓN AFÍN es otro ejemplo de función sencilla. Su expresión general es

y = m x + n,

donde ahora aparece n, valor que se denomina ordenada en el origen. ¿Por qué se llama así? Pues porque es el valor que toma y cuando x toma el valor 0. A veces, se dice que la recta y = m x + n en el plano (x, y) es la expresión de una recta en forma de punto (n) y pendiente (m), ya que estos dos valores, m y n determinan cómo será el comportamiento matemático de la recta en cuestión en el plano bidimensional (x, y). Un ejemplo de función afín puede ser el siguiente: cuando una persona (o varias) decide hacer un desplazamiento en ciudad mediante taxi, por el mero hecho de sentarse ya en el taxi, aún si que el taxista haya empezado a conducir en dirección al destino, existe una cantidad a pagar (en u.m.) al taxista por lo que se conoce entre esa profesión como “bajada de bandera”. Y, por otra parte, está claro que a mayor distancia (o tiempo) recorrido por el taxi en dirección al destino, mayor será la cantidad a pagar (en u.m.) al taxista. En este caso,

x = variable independiente (tiempo que dura el desplazamiento, en minutos),

y = variable dependiente. Es la cantidad TOTAL a pagar al taxista, suma de dos conceptos diferentes. Por una parte, la “bajada de bandera”, dada por n y, por otra, la parte a pagar en función de lo largo que sea el desplazamiento: m x. Es decir,

y = m x + n.

Otro ejemplo sencillo de función es la denominada FUNCIÓN CONSTANTE, que no es más que un caso particular de la anterior, cuando m toma el valor 0. En este caso, la función constante tiene por expresión:

y = n,

que quiere decir que la variable dependiente y toma siempre el valor n, sea cual sea el valor que tome la variable independiente x, que, de hecho, no aparece en la expresión anterior. Un ejemplo sencillo de función constante: sabemos que los bebés evolucionan a niños, los niños a adolescentes y éstos a adultos. Durante las etapas previas a ser adulto, el ser humano va creciendo en estatura, pero una vez llegados, digamos los veintipocos años, ya ni crece ni todo lo contrario. Entonces,

x = variable independiente = transcurrir del tiempo (en años),

y = estatura del adulto (en centímetros),

y = n,

donde n puede ser, por ejemplo, 170 cm.

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